Wahrscheinlichkeitstheorie einfach erklärt: Münzwurf-Experiment

Häufig fügen Lehrer kreative Ideen für Schulprojekte in der Unterrichtsplanung ein, um neue Perspektiven aufzuzeigen und das Interesse für besonders komplexe Themen zu wecken. Einer dieser komplexen Themen ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsrechnung im Fach Mathematik – die mit dem Münzwurf selbst getestet und erlebt wird.

Alles Wichtige zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, auch Wahrscheinlichkeitstheorie genannt, ist ein Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Analyse und Berechnung der Gesetzmäßigkeit zufälliger Ereignisse befasst. Sie basiert auf der Theorie der Mengen und verwendet Konzepte wie Experimente, Ereignisse und Zufallsvariablen, um Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu treffen.

Die Grundidee besteht darin, dass jedes Ereignis, das in einem bestimmten Kontext passieren kann, eine bestimmte Wahrscheinlichkeit hat – eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie sicher oder unsicher das Ereignis ist. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, während eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher eintritt.

Anwendungsbereiche in der Forschung

In der Mathematik ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung eng mit der Statistik verbunden, da beide Disziplinen Methoden zur Analyse und Interpretation von Daten anbieten. Sie wird unter anderem in der Stochastik verwendet, einem Gebiet, das sich mit zufälligen Prozessen und ihren langfristigen Eigenschaften beschäftigt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ermöglicht es, Vorhersagen über große Datenmengen zu treffen und Schlussfolgerungen über die Gesamtpopulation auf der Grundlage von Stichproben zu ziehen.

Die ‚Wahrscheinlichkeitsrechnung findet Anwendung

• in der Qualitätssicherung,
• der Risikoanalyse,
• der Thermodynamik,
• der Quantenmechnanik,
• als Grundlage der Zuverlässigkeitstheorie,
• der Warteschlangentheorie,
• der Mustererkennung sowie
• in der Entscheidungstheorie.

Anwendungsbereiche im Alltag

Im Alltag begegnet uns die Wahrscheinlichkeitsrechnung oftmals, ohne dass wir uns dessen bewusst sind. Beispiele dafür sind:

• Wettervorhersagen: Meteorologen verwenden Wahrscheinlichkeitsmodelle, um Vorhersagen über das Wetter zu treffen, etwa über die Wahrscheinlichkeit von Regen oder Schnee an einem bestimmten Tag.
• Glücksspiele: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Grundlage für die Berechnung von Gewinnchancen bei Spielen wie Poker, Roulette oder Lotto.
• Finanzmärkte: In der Finanzwelt helfen Wahrscheinlichkeitsmodelle dabei, Risiken zu bewerten und Entscheidungen über Investitionen zu treffen, z.B. bei der Preisgestaltung von Optionen und Derivaten.
• Medizin: Ärzte nutzen Wahrscheinlichkeitsrechnung, um das Risiko von Krankheiten zu beurteilen und die Wirksamkeit von Behandlungen zu evaluieren.
• Alltagsentscheidungen: Selbst in alltäglichen Situationen, wie der Entscheidung, einen Regenschirm mitzunehmen oder nicht, spielen Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit eine Rolle, basierend auf der Wettervorhersage und persönlicher Erfahrung.

Wahrscheinlichkeitstheorie in der Grundschule

Ab welcher Klasse

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird in den meisten Schulen ab der 1. Klasse im Mathematikunterricht behandelt. Dabei geht es in der Grundschule vorwiegend darum, die Grundstruktur, die Anwendungsbereiche und diesbezügliche Experimente kennenzulernen.

Gerade die Experimente mit Zufall und Wahrscheinlichkeit sind reizvoll – machen sie doch die abstrakte Wahrscheinlichkeitstheorie greifbar.

Das Mysterium des Münzwurfs

Eine Münze hat zwei Seiten, auf denen sie landen kann, sogut wie nie landet sie hochkant. Man könnte also annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit pro Münzseite 50 zu 50 beträgt. Auch beim Korbwerfen in einem Basketballspiel könnte die Annahme gleich lauten, denn auch hier gibt es nur zwei eindeutige Möglichkeiten – entweder man trifft oder man trifft nicht. Während letzterer Versuch jedoch von den körperlichen Fähigkeiten, Vorerfahrungen und Übungsintensität des Ballwerfers abhängt, ist das Werfen einer Münze ein neutraler, von keiner körperlichen oder geistigen Fähigkeit beeinflussbarer Zufallsversuch. Wirft man die Münze in repräsentativ hoher Anzahl, so müsste doch in der Summe Kopf wie Zahl zu 50 % vertreten sein. Dies ist aber – wie mehrere Studien zeigen konnten – nicht der Fall.

Auch Glücksspiele profitieren davon, dass man von einer 50 zu 50 Wahrscheinlichkeit ausgeht und seine Chance als gleichwertig ansieht. Je häufiger der Spieler nun also verliert, desto mehr Schwung bekommt er er, weiterzuspielen. Statt entnervt aufzugeben, hat er nämlich das Gefühl, dass sich mit jedem Rückschlag die Chance auf den Gewinn erhöht. Wie bei der Münze: Es müsste doch endlich mal Zahl kommen, wo doch vorher nur Kopf geworfen wurde. Aber dieses Gefühl täuscht – in der Summe verlieren alle Spieler mehr als sie je gewonnen haben.

Dies verwirrt und leuchtet den Schülern nicht unbedingt ein, und so ist es interessant, die Schüler selbst zu einem solchen Experiment einzuladen – als kreative Idee für ein Schulprojekt.

Der Münzwurf als Klassen-Experiment

Die Vorbereitung für ein Münz-Experiment ist denkbar einfach: Die Klasse oder eine Klassenstufe wird in kleinen Gruppen eingeteilt und jeweils mit einer Geld-Münze ausgestattet. Auch andere Münzen sind erlaubt, sogar willkommen. In jeder Gruppe gibt es ein (oder mehrere) Kinder, die die Münze hochwerfen, sowie mindestens einen Schüler, der die Ergebnisse (Kopf oder Zahl) in einer Tabelle einträgt. Da das Experiment mit wenigen Würfen nicht aussagekräftig sein kann, ist es sinnvoll, wenn die Wurfzahl 1000 oder mehr beträgt. Je häufiger die Schüler werfen, desto schneller sammeln sie relevante Ergebnisse.

Münzwurf in der Forschung

Erstaunlich ist es, dass Münzwurf-Experimente eindeutig zeigen konnten, dass die Wahrscheinlichkeit von Kopf oder Zahl nicht 50 zu 50 beträgt.

Eine Studie ging davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze auf die gleiche Seite landet, die vor dem Werfen oben lag, bei 50 % liegt. Es wurde Einiges versucht, um sogenannte statistische Schwankungen zu eliminieren: Es wurde von vielen unterschiedlichen Menschen mit unterschiedlichen Münzen verschiedener Währung geworfen, und dies über 350.000 Mal.

2007 hatte der Stanford-Mathematiker Persi Diaconis diese Wahrscheinlichkeit rechnerisch belegt und kam auf das Ergebnis von 51 % und der Notwenigkeit die Münze mindestens 250.000 Mal zu schnippen.

Das Ergebnis von 50,8 % zu 49,2 % wurde letztlich bedingt durch die Ausgangsslage der Münze: Die anfangs oben liegende Seite war zu einem leicht höheren Prozentsatz auch jene, die beim Landen nach oben zeigte.

Bildquellen

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• Pexels @ Cottonbro Studio

Quellen

• https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie
• https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung
• https://www.studysmarter.de/schule/mathe/stochastik/wahrscheinlichkeitsrechnung/
• https://www.studienkreis.de/mathematik/zufallsexperimente-muenz-und-wuerfelwurf/
• https://application.wiley-vch.de/books/sample/3527703047_kap.pdf
• https://learnattack.de/mathematik/wahrscheinlichkeitsrechnung
• https://application.wiley-vch.de/books/sample/3527703047_kap.pdf
• https://www.derstandard.at/story/3000000191831/beim-muenzwurf-liegen-die-chancen-doch-nicht-genau-bei-50-zu-50?utm_source=pocket-newtab-de-de
• https://www.spektrum.de/kolumne/freistetters-formelwelt-wahrscheinlichkeit-beim-muenzwurf/1972333
• https://www.sueddeutsche.de/wissen/statistik-muenzwurf-fairness-fussball-mathematiker-zufall-1.6294424
• https://www.spektrum.de/kolumne/masstheorie-eine-wahrscheinlichkeit-von-null-heisst-nicht-unmoeglich/2092452
• https://arxiv.org/abs/2310.04153#