Dezimalrechensätze nach Zoltan Paul Dienes

Mit Dezimalrechensätzen bzw. Dienes Material können die Schüler lernen, sich im Zahlenraum zu orientieren und zu verstehen, dass Zahlen nicht als voneinander unabhängige abstrakte Objekte aufgefasst werden, sondern in Beziehung zueinander stehen. Um die Strukturen des Zahlenraumes erkennen zu können, wird der Zahlenraum mit verschiedenen Hilfsmitteln, z.B. den Dienes Dezimalblöcken erarbeitet.

1. Wer war Zoltan Paul Dienes?

Zoltan Paul Dienes wurde 1916 in Ungarn geboren und war Mathematik-Lehrer. Er entwickelte Beiträge zur Neuen Mathematik und der Grundschul-Mengenlehre und ist der Erfinder der logischen Blöcke und der Dezimalsystemblöcke.

Dienes wollte den Kindern Zahlvorstellungen, Handlungsvorstellungen zu Rechenoperationen und effektive Rechenstrategien in einer leicht erfassbaren Weise näher zu bringen. Der Zahlenraum bildet die Grundlage für die Erarbeitung von Rechenstrategien. Dienes bemühte sich, mathematische Ideen in Konstruktionen umzusetzen, damit diese für die Kinder vorstellbar werden. So entstanden die Dienes Dezimalrechensätze. Durch Ausprobieren gelangen die Kinder zur richtigen Lösung.

2. Für was benutzt man die Dienes Dezimalrechensätze?

Das Dienes Material gehört zur Mengenlehre in der Grundschule, sowie auch zur Vorbereitung im Kindergarten und zur Erweiterung der Zahlenräume in der Sekundarstufe. Es spiegelt die Zehnerbündelung (Einerwürfel, Zehnerstangen, Hunderterplatten) wieder, und die Kinder können sehr einfach entdecken, dass sich die Dreiergruppierungen von Stellen bei größeren Zahlen wiederholen. Die Einer- und Tausenderwürfel, die Zehner- und Zehntausenderstangen, sowie die Hunderter- und Hunderttausenderplatten entsprechen einander. Diese Analogie können die Kinder nutzen, wenn sie sich den Zahlenraum bis zu einer Million erarbeiten.

Im Mathematik Kompetenzaufbau in Klasse 1 und 2 nach dem Programm „Matinko“ (www.matinko.de)  werden auch Systemblöcke mit 5er Stäben eingesetzt.

Dienes Material nutzt das metrische Maßsystem Zentimeter:

Tausender: 10 x 10 x 10 cm

Hunderter: 10 x 10 x 1 cm

Zehner: 10 x 1 x 1 cm

Einer: 1 x 1 x 1 cm

Wenn man den Kindern eine Zahl vorgibt, die diese mit Hilfe des Dienes Materials abbilden sollen, werden sie eine Lösung versuchen, diese dann überprüfen und dann auch eine andere ausprobieren, da es stets mehrere Lösungsmöglichkeiten gibt. Diese Strategie hilft ihnen sehr für das logische Denken, um auch spätere Probleme lösen zu können. Auch die Ausdauer der Kinder wird so bestärkt.

Das Dienes Material wurde für den Einsatz im Kindergarten und der Grundschule entwickelt, um sich in einem gewissen Zahlenraum auszukennen, Zahlen mit Hilfe der Blöcke darzustellen, alternative Lösungen zu suchen, Strukturen zu erkennen, zu überprüfen und sich zu merken. Durch das Hantieren mit den einzelnen Blöcken, Hunderterplatten, Zehnerstangen und Einerwürfelchen machen sich die Kinder zunehmend ein Bild vom Zahlenraum und dem Dezimalsystem.

Die Systemblöcke der Dezimalrechensätze haben insofern eine große Ähnlichkeit mit dem Perlenmaterial aus der Montessori-Pädagogik und werden gerne von Montessori-Pädagogen gekauft. Im Gegensatz zu diesen sind sie aber aus angenehm anzufassendem Naturholz, haben eine präzise Seitenlänge und geben damit nicht nur ein Gefühl für Mengen, sondern auch für Längen und Würfelmaße. Die Tausenderwürfel lassen sich in der Größe (und auch in der Farbe) mit dem Goldenen Perlenmaterial ästhetisch gut kombinieren.

Lernziele mit Dezimalrechensätzen:

Zuordnung von Menge und Zahl, gerader und ungerader Zahl. Einordnung der Zahl in den 10, 100 und 1000 Raum. Erschließen der Grundrechenarten und Hinführen zu den Dezimalzahlen.

Mit den Dezimalrechensätzen können auf der Hundertertafel Mengen und die dazugehörigen Zahlen in der Gruppe, als auch selbständig mit Selbstkontrolle erarbeitet werden. Die Tausenderwürfel können sowohl die Zuordnung zu den Stellenwerten, als auch zu den Dezimalzahlen geben.

Querverweise auf andere Größen wie Gewicht – Volumen – Länge sind durch die immer wieder verwendete Basis 10 cm leicht möglich.

Die einzelnen Aufgaben können in Lernzirkeln, von einzelnen Kindern oder in kleinen und grossen Gruppen erarbeitet werden. Jedoch sollten die Kinder immer dazu animiert werden, ihre Lösungen mit anderen zu auszutauschen und zu überprüfen.

In der Matinko-Didaktik („Mathematik individualisiert und zugleich kompetenzorientiert“) werden auch Systemblöcke mit Fünferstab eingesetzt.  Durch den Fünferstab lernt das Kind, dass das Wesen der Zahl 7 die Struktur 5+2 ist. Der Fünferstab läßt sich einfach aus einem Zehnerstab mittels einer kleinen Säge herstellen, kann aber auch gesondert gekauft werden. Mit den Systembklöcken lassen sich alle Aufgaben bequem darstellen. Da man die Zehner in die Hand nehmen, zeigen und benennen kann, läßt sich das Stellenwertsystem anschaulich erkennen.

3. Beispiele und Aufgaben

3.1 Figuren legen und Zahlen erkennen

Beginnen Sie zunächst mit den Einerwürfelchen und lassen Sie die Kinder mit diesen alle möglichen Figuren legen (erst mit 3 Würfeln, dann mit 4, usw.). Wie viele Legemöglichkeiten gibt es jeweils ?

Als nächstes geben Sie den Kindern eine Vorlage mit Figuren, in die mehrere Würfelchen hineinpassen. Die Kinder sollen zuerst die Figuren auslegen und dann nachzählen wie viele Würfelchen sie dafür benötigen.

9 Einerwürfelchen benötigt man zum Auslegen dieser Figur. Wiederholen Sie dieselbe Übung mit Zehnerstangen, dann in Kombination mit den Einerwürfelchen und als weitere Stufe zusammen mit den Hunderterplatten.

3.2 Zählen

Geben Sie den Kindern nun einige Beispiele mit den Einerwürfelchen und den Zehnerstangen vor, später können Sie dann diese Übung auch zusammen mit den Hunderterplatten durchführen. Die Kinder sollen das Symbol für die einzelnen Vorgaben zeichnen und die dazugehörige Zahl.

z.B.: 34

Der nächste Schritt ist nun diese Übung auch in umgekehrter Reihenfolge durchzuführen. Nennen Sie ein Paar Zahlen und lassen Sie diese die Kinder darstellen.

3.3 Addition

Mit der folgenden Übung sollen die Kinder nun die Addition erlernen. Beginnen Sie zunächst mit den Einerwürfelchen, später können Sie dann die Zehnerstangen, die Hunderterplatten und schließlich den Tausenderwürfel hinzunehmen, um Additionen bis in den Tausenderbereich zu erlernen.

Mit dieser Übung sollen die Kinder die Addition erlernen. Beginnen Sie zunächst mit den Einerwürfelchen, später können Sie dann die Zehnerstangen, die Hunderterplatten und schließlich den Tausenderwürfel hinzunehmen, um Additionen bis in den Tausenderbereich zu erlernen.

3.4 Subtrahieren

Mit Aufgaben wie der folgenden können die Kinder mit dem Dienes Material das Subtrahieren verstehen und erlernen.

z.B.: 136 – 13 = 123

3.5 Herausfinden des richtigen Wertes

Stellen Sie Ihren Kindern solche Fragen:

– Ich habe 8 Blöcke. 2 Blöcke sind Hunderterplatten, 2 sind Zehnerstangen und der Rest sind Einerwürfelchen.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 8 Blöcke. Nur 1 Block ist ein Einerwürfelchen, 4 sind Zehnerstäbe und der Rest sind Hunderterplatten.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 8 Blöcke. Kein Einerwürfelchen, 4 sind Hunderterplatten und der Rest sind Zehnerstangen.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 3 Blöcke. Ich habe die gleiche Anzahl an Hunderterplatten, Zehnerstangen und Einerwürfelchen.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 9 Blöcke. Ich habe die gleiche Anzahl an Hunderterplatten, Zehnerstangen und Einerwürfelchen.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 8 Blöcke. Ich habe 2 Einerwürfelchen und dieselbe Anzahl an Hunderterplatten und Zehnerstangen.

Der Gesamtwert ist: ______ ?

– Ich habe 5 Blöcke. Einige sind Hunderterplatten, einige sind Zehnerstangen und einige sind Einerwürfelchen. Der Wert ist größer als 300.

Der Gesamtwert ist: _____ ?

Dienes Dezimalrechensätze können in Lernzirkeln, mit einzelnen Kindern oder in Gruppen durchgeführt werden. Immer sollten die Kinder ihre Lösungen mit anderen diskutieren und austauschen.